MATRICES

 


 

 

Una matriz  A , es un cuadro de números distribuídos  en m  filas  y  n  columnas , y que  podemos expresar   en la forma:

 

 

 

A =         , siendo    el elemento genérico que ocupa la fila  i   y la columna  j   de la distribución  y

 

            Ejemplo,  en  A =     ,  tenemos,   

 

                     

 

                  En general, tendremos:

 

                                         A   

 

 

   *

*

*               SUMA  O  RESTA:

 

Se define:      

 

è      Se suman y/o restan  las matrices, sumando y/o restando entre sí, los elementos que ocupan las mismas posiciones

 

 

 

    

 

 Producto de un  escalar  (nº) , por una  matriz:

 

    ( Se multiplica el nº , por cada uno de los elementos de la matriz)

 

 

 

PRODUCTO  DE MATRICES:

 

Se define el  producto   de matrices   A x B , en la forma:

 

 

 

    

 

Ejemplo:   En     , siendo por ejemplo:        =  de cada elemento de la fila i  de la 1ª, por el elemento del mismo orden de la columna  k de la 2ª  (en este caso fila  1  de la  1ª,  por la columna  2  de la 2ª )

 

  Es decir:   

 

 

 

 En general,         

 

 

 

 

    TIPOS:

 

     Matriz  traspuesta de la  Am,n = {ai,j }m,n   , es la  Atn.m , obtenida al cambiar en la 1ª  filas por columnas

 

 

     Ejemplo:      Siendo  

 

                                              

 

 

       Matriz  cuadrada ,  es aquella con m= n , es decir que tiene el mismo nº de filas que de columnas . La significamos

 

   con  Anxn  ó  An2   

 

 

       Matriz  diagonal:    Llamamos así a aquella    matriz cuadrada    , en la cual 

 

     Los elementos de la matriz diagonal  ai,j, con i =j , constituyen  la diagonal  principal  siempre de la matriz

 

 

        Matriz  escalar:  Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal  principal tienen todos el mismo

 

 valor    

 

       Ejemplo,   ,  con 

 

       Matriz unitaria,In :  Es la matriz escalar con 

 

 

      Ejemplos:  

 

 

     En todos los casos , obviamente  :   An·In  = In·An = An    

 

 

    

 

        Matriz  triangular:  Es la que tiene los elementos por encima, o por debajo de la diagonal principal “todos nulos” (de valor cero)

 

 

 

    Matriz  triangular superior:  Es la que tiene nulos todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal

 

 

     Matriz  triangular  inferior:  Es la que tiene nulos todos los elementos  situados por encima de la diagonal  principal

 

 

 

     Inversa de una matriz cuadrada:  Dada la matriz  cuadrada  A, llamamos inversa de la misma, a la  matriz  A-1, que verifica:

 

 

     A· A-1 = A-1· A = I    (unitaria)

 

 

 

      Ejemplo:  Halla la inversa de   

 

 

 

        la inversa será la matriz:     è

 

 

                        è

 

 

                

 

 

         Además:    .  Por lo tanto

 

 

 

             Tendremos     ,, que efectivamente verifican:

 

 

 

 

        Ejercicio:

 

                             Halla la inversa  de la matriz   M = 

 

 

 

           Obviamente, tendremos     ,, y además :   M·M-1 = M-1·M = I,, y por lo tanto

 

   tendremos     è

 

 

       è    è

 

       Vemos que podemos establecer, tres sistemas:

 

 

 

 

       a)                                b)              c)     ,,

 

 

 

      cuya resolución  nos conduce en cada uno de ellos a :

 

 

     a)       è

 

 

 

       è 

 

 

 

      Análogamente:

 

         b)               è

 

               

                 

   è    

 

 

 

 

 

         c)         è 

 

 

             

 

                                                                                        

                      è      ,,

 

 

 

 

          Quedando  por lo tanto,       La comprobación  nos pone en:

 

     

 

               Vemos  que  M·M-1 = I

     

 

 


                                   

 

                  

 

Ejercicio:    Siendo     ,  halla la matriz que multiplicada por A , da     = B

 

 

Llamando X a la matriz que buscamos, tendremos ,      ,,  está claro que X, tendrá que ser de dimensiones  4x3  (nº de columnas de A, y nº de filas de  B)

 

 

 

 

Así, pues podremos poner:

 

 

                                                 , que nos conduce  a :

 

 

   2x – t + 5u + 3q = 3

 


     x +4t – 2u + q = 2          ,, sistema de ecuaciones cuya matriz asociada  es  

 

 

 

 

     que  para resolver en mejor opción , nos conduce al sistema equivalente:   

 

    dejamos en el primer miembro como incógnitas  principales  la  x  y  la q   è

 

 

      

         è

 

 

 

                        ,,como vemos hay infinitas soluciones que dependen de los valores  que demos a t  y u 

 

 

       por ejemplo  para  t=  1  ,, u =1  ,,  x =  1 ,,, q = - 1

 

                                        y la solución  general para este sistema  será :   x = ( 3 – 13a +11b)

 

                                                                                                                     t =         a

                                                                                                                     u =                b

 

                                                                                                                      q =  (-1 + 9a - 9b)               

 

 

Al multiplicar por la 2ª columna de la matriz incógnita , tendremos:

 

 

        2y – r + 5v + 3i  = 4

 

                                                             , sistema cuya matriz asociada  es   ,, que como en el caso anterior nos

         y +4r – 2v + i   = 3

 

 

 

                             nos conduce al sistema equivalente:      

 

 

 

 

                      ,, que con r =1,, v =1 ,,tenemos  y = 3 ,, i = -2

 

 

                     Siendo la solución general en este caso:       y = 5 –13m +11n

 

 

                                                                                            r =         m

                                                                                                                                                        

                                                                                            v =                    n

 

                                                                                             i = -2 +9m – 9n      

 

 

                

 

              

                          Hallando hasta ahora como matriz  X , solución , 

 

 

 

 

                    

 

                          

 

              Comprobación :        ¡Complétense , por los mismos mecanismos

                                                                                                                            Los elementos que faltan en los cálculos!