MATRICES
Una matriz A , es un cuadro
de números distribuídos en m filas
y n columnas , y que podemos expresar en la
forma:
A = , siendo el elemento genérico
que ocupa la fila i y la columna j de la distribución y
Ejemplo, en A =
, tenemos,
En general, tendremos:
A
SUMA O RESTA:
Se define:
è
Se suman y/o restan las matrices, sumando y/o restando entre sí,
los elementos que ocupan las mismas posiciones
Producto de un escalar
(nº) , por una matriz:
( Se multiplica el nº , por cada uno de los
elementos de la matriz)
PRODUCTO DE MATRICES:
Se define el producto
de matrices A x B , en la
forma:
Ejemplo: En , siendo por
ejemplo: = de cada elemento de la fila i de la 1ª, por el elemento del mismo orden de la columna k de la 2ª
(en este caso fila 1 de la
1ª, por la columna 2 de
la 2ª )
Es decir:
En general,
TIPOS:
Matriz
traspuesta de la Am,n = {ai,j }m,n , es la Atn.m
, obtenida al cambiar en la 1ª filas
por columnas
Ejemplo: Siendo
Matriz
cuadrada ,
es aquella con m= n , es decir que tiene el mismo nº de filas que de
columnas . La significamos
con
Anxn ó An2
Matriz
diagonal:
Llamamos así a aquella matriz
cuadrada , en la cual
Los elementos de la matriz diagonal ai,j, con i =j , constituyen la diagonal
principal siempre
de la matriz
Matriz
escalar:
Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal tienen todos el mismo
valor
Ejemplo, , con
Matriz unitaria,In : Es la matriz escalar
con
Ejemplos:
En todos los casos , obviamente : An·In
= In·An = An
Matriz triangular: Es la que tiene los
elementos por encima, o por debajo de la diagonal principal “todos nulos” (de
valor cero)
Matriz triangular
superior: Es
la que tiene nulos todos los elementos situados por debajo de la diagonal
principal
Matriz
triangular inferior: Es la que tiene nulos
todos los elementos situados por encima
de la diagonal principal
Inversa de una matriz cuadrada: Dada la matriz
cuadrada A, llamamos inversa de
la misma, a la matriz A-1, que verifica:
A· A-1 = A-1· A =
I (unitaria)
Ejemplo: Halla la
inversa de
la inversa será la matriz: è
è
Además: . Por lo tanto
Tendremos ,, que
efectivamente verifican:
Ejercicio:
Halla la inversa de la
matriz M =
Obviamente,
tendremos ,, y además : M·M-1 = M-1·M = I,, y
por lo tanto
tendremos è
è è
Vemos que podemos establecer, tres sistemas:
a) b)
c) ,,
cuya resolución nos
conduce en cada uno de ellos a :
a) è
è
Análogamente:
b) è
è
c) è
è ,,
Quedando por lo
tanto, La comprobación nos pone en:
Vemos que
M·M-1 = I
Ejercicio: Siendo
, halla la matriz que multiplicada por A ,
da = B
Llamando X a la
matriz que buscamos, tendremos , ,, está claro que X, tendrá que ser de
dimensiones 4x3 (nº de columnas de A, y nº de filas de B)
Así, pues podremos
poner:
, que nos
conduce a :
2x – t + 5u + 3q = 3
x +4t – 2u + q = 2 ,, sistema de ecuaciones cuya matriz
asociada es
que
para resolver en mejor opción , nos conduce al sistema equivalente:
dejamos en el primer miembro como
incógnitas principales la x y la
q è
è
,,como vemos hay
infinitas soluciones que dependen de los valores que demos a t y u
por ejemplo para t= 1 ,,
u =1 ,, x = 1 ,,, q = - 1
y la
solución general para este sistema será :
x = ( 3 – 13a +11b)
t = a
u = b
q = (-1 + 9a - 9b)
Al multiplicar por
la 2ª columna de la matriz incógnita , tendremos:
2y – r + 5v + 3i = 4
,
sistema cuya matriz asociada es ,, que como en el
caso anterior nos
y +4r – 2v + i = 3
nos conduce al
sistema equivalente:
,, que con r =1,, v =1 ,,tenemos y = 3 ,, i = -2
Siendo la solución general
en este caso: y = 5 –13m +11n
r = m
v = n
i = -2 +9m – 9n
Hallando hasta ahora
como matriz X , solución ,
Comprobación : ¡Complétense , por
los mismos mecanismos
Los
elementos que faltan en los cálculos!